Формулы вычисления длины кривой и площади

Если $\gamma$ - гладкая кривая, то она спрямляемая и её длина: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}} \, dt $$ Если $y = f(x)$, то: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^{2}} \, dx $$

Пусть $\gamma\mathpunct{:}~ r = r(\varphi), \varphi \in [a, b]$, тогда: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{(r'(\varphi))^{2} + (r(\varphi))^{2}} \, d\varphi $$

Пусть $f(x) \geq 0$ и $\Omega = \{ (x, y) \mid x \in [a, b] \land 0 \leq y \leq f(x)\}$ - криволинейная трапеция Тогда если $f(x)$ - интегрируема, то $\Omega$ - измеримо и: $$\mu(\Omega) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ Если $f(x) \leq g(x)$ и $\Omega = \{ (x,y) \mid x \in [a, b] \land f(x) \leq y \leq g(x)\}$, то: $$\mu(\Omega) = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx $$ Если $\Omega$ ограничена кривой $\gamma\mathpunct{:}~ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, t \in [a, b]$, то: $$\mu(\Omega) = \left|\int_{a}^{b} y(t)x'(t) \, dt \right|$$

$$S(\Omega) = \dfrac{1}{2} \int_{a}^{b} r^{2}(\varphi) \, d\varphi $$